Рубрика:
Наука и технологии
|
Facebook
Мой мир
Вконтакте
Одноклассники
Google+
|
ТРОЕНКО С.Ю., Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), бакалавр, 813-я кафедра
ПОВАЛЯЕВ П.П., Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), 812-я кафедра, инженер
Разработка методов демпфирования колебаний с помощью точечных стационарных демпферов. Часть 2. Колебания плоской мембраны
В данной статье рассматривается задача гашения колебаний плоской мембраны с использованием нескольких точечных демпферов. Предложены методы гашения колебаний плоской мембраны с использованием нескольких точечных стационарных демпферов для произвольных начальных возмущений. В качестве краевых условий рассмотрены условия закрепления. Разработан численный алгоритм решения задачи гашения колебаний плоской мембраны сиспользованием координатного метода. Разработано программное приложение, реализующее численные методы и визуализирующие основные результаты данной работы при различных значениях начальных данных. Приложение написано на языке С#
Задачи гашения колебаний актуальны в силу многочисленных технических приложений. Например, случай с двухкилометровым мостом в Волгограде, на котором 20 мая 2010 года по неизвестным причинам возникли колебания амплитудой до 1 метра, угрожавшие разрушением моста и остановившие движение транспорта.
Основной целью является разработка методов демпфирования колебаний тонкой мембраны с помощью нескольких точечных стационарных демпферов. В качестве граничных условий для мембраны рассматривается случай, когда оба конца мембраны закреплены. Также целью данной статьи является выбор наилучшего численного метода, позволяющего найти оптимальное управление, сводящее энергию колеблющейся мембраны к нулю за конечное время T. При этом необходимым является нахождение оптимальных параметров сходимости численного метода решения.
Колебания плоской мембраны
Колебания плоской мембраны описываются гиперболическим уравнением:
(1.1)
с начальными условиями:
(1.2)
которые будем считать начальными возмущениями и граничными условиями (условиями закрепления):
(1.3)
Энергия колебаний мембраны в момент времени t выражается следующим интегралом:
(1.4)
Поставим задачу гашения колебаний мембраны следующим образом: необходимо найти функцию g(t, x, y) из класса L2(0 ≤ t ≤ T, 0 ≤ x ≤ l1, 0 ≤ y ≤ l2), позволяющую перевести мембрану из состояния (1.2) в состояние покоя:
(1.5)
за минимальное время T > 0. Заметим, что условие (1.5) равносильно обращению интеграла энергии мембраны в ноль в момент времени T с учетом условий (1.3):
(1.6)
Основная идея заключается в использовании нескольких точечных демпферов. Будем искать функцию g(t, x, y) в виде:
(1.7)
где Wi – управляющие функции, δ – дельта-функция Дирака, xi, yj – точки, в которые помещаются демпферы.
Потребуем также, чтобы функции Wi(t) были ограничены некоторым значением Wmax:
(1.8)
Рассмотрим численный метод решения задачи гашения колебаний.
Численный алгоритм решения начально-краевой задачи для волнового уравнения
Для численного решения дифференциального уравнения (1.1) применяется метод сеток или разностный метод.
Рассмотрим задачу о приближенном вычислении производных функции u(x, y, t), определенной и имеющей непрерывные вторые частные производные uxx, uyy на отрезке x ∈ [0; l1], y ∈ [0; l2] и utt на отрезке [0; T].
Зададим натуральные числа M1, M2 и N, разобьем рассматриваемые отрезки {0 ≤ x ≤ l1, 0 ≤ y ≤ l2, 0 ≤ t ≤ T} на промежутки точками xm, yk и tn соответственно:
(2.2)
где hx = l1/M1, hy = l2/M2 и τ = T/N – шаги сетки по переменным x, y и t соответственно. В качестве сетки используем совокупность точек пересечения плоскостей . Искомой сеточной функцией является таблица значений.
Обозначим:
ukm = 0(xk, ym, t) (2.3)
un = u(x, y, tn) (2.4)
Вторую производную uxx можно приближенно заменить второй разностной производной в точке :
(2.5)
Аналогичный вид примет вторая производная uyy:
(2.6)
Аппроксимация второй частной производной utt осуществляется аналогично и также имеет второй порядок:
(2.7)
Введем вместо точного решения u(xk, ym, tn) сеточную функцию , которая будет удовлетворять следующему конечно-разностному соотношению:
(2.9)
Данное соотношение аппроксимирует уравнение (1.1) со вторым порядком по hx, hy и τ.
Выразим :
![](data:image/png;base64,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)
Аппроксимируем начальные условия (1.2). Первое начальное условие запишется в виде:
![](data:image/png;base64,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)
Для того чтобы аппроксимировать второе начальное условие (1.2), введем фиктивный слой t = -τ. Будем полагать, что уравнение (1.1) справедливо на промежутке [-τ; 0]. Решение на этом слое обозначим . Аппроксимируем начальные условия со вторым порядком аппроксимации и выпишем разностную схему на слое n = 0:
![](../../../../uploads/articles/2018/07-08/110_115_Development_Vibration_Damping_Methods_Using_Point_Stationary_Dampers_part2/Eqn022.png)
Выразим из первого уравнения и подставим во второе уравнение:
![](data:image/png;base64,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)
Получим выражение для :
![](../../../../uploads/articles/2018/07-08/110_115_Development_Vibration_Damping_Methods_Using_Point_Stationary_Dampers_part2/Eqn025.png)
Краевые условия имеют вид:
(2.10)
В результате конечно-разностная аппроксимация уравнения (1.1) и начальных условий (1.2) имеет второй порядок аппроксимации.
Покажем, что составленная разностная схема (2.9) устойчива по Нейману. Будем искать решение (2.9) в виде:
![](data:image/png;base64,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)
Условие устойчивости по Нейману имеет вид |λ(p)|≤1 для всех p,q∈R. Тогда разностная схема будет иметь вид:
![](../../../../uploads/articles/2018/07-08/110_115_Development_Vibration_Damping_Methods_Using_Point_Stationary_Dampers_part2/Eqn028.png) (2.11)
После простейших математических преобразований получим следующее выражение:
![](data:image/png;base64,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)
Применяя формулу Эйлера:
![](data:image/png;base64,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)
получим квадратное уравнение следующего вида:
![](data:image/png;base64,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)
или
(2.12)
Если
![](data:image/png;base64,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)
то уравнение имеет различные вещественные корни λ1 ≠ λ2, поэтому модуль одного из корней будет больше 1. Этот случай нас не устраивает.
Если
(2.13)
то корни уравнения будут комплексно-сопряженными, причем |λ1| = |λ2| = 1.
Запишем неравенство (2.13) в виде:
![](data:image/png;base64,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)
Правое неравенство выполняется при любых p, q. Из левого неравенства следует:
(2.14)
Следовательно,
(2.15)
(2.16)
а значит, схема устойчива, если шаг по времени удовлетворяет неравенству (2.16).
Численный алгоритм выбора оптимального управления
Для численного расчета интеграла энергии мембраны воспользуемся следующей аппроксимацией:
![](../../../../uploads/articles/2018/07-08/110_115_Development_Vibration_Damping_Methods_Using_Point_Stationary_Dampers_part2/Eqn039.png) (2.17)
Условием гашения будем полагать выполнение неравенства I(T) ≤ ε, где ε – заданная точность вычислений.
Аппроксимируем управляющие функции Wi(t) кусочно-постоянными функциями, такими что ∀t ∈ [tn, tn+1]
(2.18)
Тогда интеграл энергии (2.17) будет являться функцией переменных :
(2.19)
Оптимальные значения , минимизирующие интеграл энергии с заданной точностью ε и являющиеся искомым решением задачи, будем искать методом координатного спуска. Алгоритм метода координатного спуска для функции многих переменных Ф(x1, x2, …, xm) заключается в следующем:
- Задаем начальные приближения
.
- Рассматриваем функцию
. Она является функцией одной переменной x1. Будем искать локальный минимум этой функции методом парабол.
Описание метода. Метод квадратичной параболы, суть которого состоит в следующем: задается шаг h и вблизи выбранной точки x0 берутся точки x0-h, x0+h. Вычисляются значения функции f(x0), f(x0-h), f(x0+h) в этих точках. Через этиточки проводится квадратичная парабола:
(2.21)
(2.22)
(2.23)
Окончательно выражения для коэффициентов параболы выглядят следующим образом:
(2.24)
(2.25)
Если a > 0, то имеет место соотношение P2(x1) = 2a(x1 – x0) + b = 0, поэтому x1 = x0 – b/2a, где x1 является точкой минимума параболы. Далее вычисляем значения f(x1-h), f(x1), f(x1+h) и проводим новую параболу, то есть повторно вычисляем коэффициенты a, b, получаем x2 = x1 – b/2a. В случае если a < 0, находим минимальное среди полученных значений функций на предыдущем этапе: f(x0-h), f(x0), f(x0+h) и значению xi присваиваем соответствующее значение аргумента.
В результате применения метода парабол к функции f1(x1) находим такую, что .
Далее рассматриваем функцию . Эта функция является функцией одной переменной x2. Применяя метод парабол, находим такую, что .
Далее повторяем эту процедуру для остальных переменных x3,…,xm. В результате мы получим следующее приближение .
Затем повторяем процесс 2 до тех пор, пока . Затем уменьшаем переменную h в два раза и опять повторяем пункт 2. Процесс останавливаем, когда .
Метод координатного спуска нахождения локального минимума функции многих переменных заключается в многократном применении метода парабол для различных искомых переменных. Метод сходится очень быстро и является одним из наилучших методов спуска.
Опишем программное приложение. Приложение реализовано средствами объектно-ориентированного языка C#. Основной функцией программы является расчет оптимального управления для задачи гашения колебаний мембраны. Вкачестве входных параметров программа использует размеры сетки M1, M2 и N. В качестве выходных параметров представлены файлы формата .txt, содержащие оптимальные значения.
Программа реализует следующие функции:
- прямой расчет – получение значений функции U;
- вычисление интеграла энергии колебаний мембраны;
- минимизация интеграла энергии колебаний методом координатного спуска.
Приложение не имеет значительных функциональных ограничений, однако предназначена для использования лишь на некоторых операционных системах семейства Windows и не подходит для реализации на операционных системах семейства Unix.
Алгоритм программной реализации выглядит следующим образом:
- Проводим прямой расчет значений функции U.
- Вычисляем значение интеграла энергии колебаний мембраны.
- Проводим расчеты коэффициентов метода парабол по формулам (2.23) – (2.25).
- Вычисляем оптимальные значения.
- Сравниваем значение полученного нового интеграла энергии с его старым значением по абсолютной величине. Если значение нового интеграла меньше старого значения, запоминаем полученные значения
и проводим расчеты снова.
Прямой расчет значений функции U осуществляется функцией GetU(). Для программной реализации сеточная функция интерпретируется как трехмерный массив U[k, m, n], поэтому заполнение ее значений осуществляется за счет цикла for(). Начальные условия, которые воспринимаются в качестве начальных возмущений колебаний мембраны, заданы в функциях GetH0() и GetH1(). Программный код функции GetU() представлен в листинге 1.
Листинг 1. Прямой расчет в функции GetU()
for (int n = 0; n <= N; n++)
for (int k = 0; k <= M1; k++)
for (int m = 0; m <= M2; m++) {
if (k == 10 && m == 10) G[k, m, n] = W1[n] + h;
else G[k, m, n] = 0; }
for (int n = 0; n <= N; n++)
for (int m = 0; m <= M2; m++) {
U[0, m, n] = 0;
U[M1, m, n] = Math.Sin(l1) * Math.Sinh(m * hy); }
for (int n = 0; n <= N; n++)
for (int k = 0; k <= M1; k++) {
U[k, 0, n] = 0;
U[k, M2, n] = Math.Sin(k * hx) * Math.Sinh(l2); }
for (int k = 1; k <= M1 - 1; k++)
for (int m = 1; m <= M2 - 1; m++)
U[k, m, 0] = GetH0(k * hx, m * hy);
for (int k = 1; k <= M1 - 1; k++)
for (int m = 1; m <= M2 - 1; m++)
U[k, m, 1] = a * a * tau * tau / (2.0 * hx * hx) * (U[k - 1, m, 0] - 2 * U[k, m, 0] + U[k + 1, m, 0]) + a * a * tau * tau / (2.0 * hy * hy) * (U[k, m - 1, 0] - 2 * U[k, m, 0] + U[k, m + 1, 0]) + U[k, m, 0] + tau * GetH1(k * hx, m * hy);
for (int n = 1; n <= N - 1; n++)
for (int k = 1; k <= M1 - 1; k++)
for (int m = 1; m <= M2 - 1; m++)
U[k, m, n + 1] = a * a * tau * tau / (hx * hx) * (U[k - 1, m, n] - 2 * U[k, m, n] + U[k + 1, m, n]) + a * a * tau * tau / (hy * hy) * (U[k, m - 1, n] - 2 * U[k, m, n] + U[k, m + 1, n]) + tau * tau * G[k, m, n] + 2 * U[k, m, n] - U[k, m, n - 1];
for (int k = 1; k <= M1 - 1; k++)
for (int m = 1; m <= M2 - 1; m++)
E += ((U[k, m, N] - U[k, m, N - 1]) / tau) * ((U[k, m, N] - U[k, m, N - 1]) / tau) + U[k, m, N] * U[k, m, N]; E *= hx * hy;
Console.WriteLine("E = " + E);
return E;
}
Код функции, вычисляющей минимум интеграла и предназначенной для поиска значений оптимального управления, представлен в листинге 2.
Листинг 2. Код функции Minimize()
if (Math.Abs(W1_old - w1[n]) < 0.0001) {
Console.WriteLine("W1_old = " + W1_old + " , w1[n] = " + w1[n]);
while (h > 0.0001) {
Minimize(w1, n);
};
result[n] = w1[n];
h = 0.1;
return; }
}
W1_old = w1[n];
E2 = func(ref U, 0, w1);
E1 = func(ref U, -h, w1);
E3 = func(ref U, h, w1);
a = (E1 - 2 * E2 + E3) / (2.0 * h * h);
if (a > 0) {
b = (E3 - E1) / (2.0 * h);
w1[n] = W1_old - b / (2.0 * a);
Minimize(w1, n);
}
else {
if (min(E1, E2, E3) == E1)
w1[n] = W1_old - h;
else if (min(E1, E2, E3) == E2)
w1[n] = W1_old;
else
w1[n] = W1_old + h;
Minimize(w1, n);
}
Оптимальные значения интерпретируются как одномерные массивы W1[n], W2[n], … Для каждого из них существует массив копий W1_old[n], W2_old[n], …, в котором хранятся оптимальные значения, полученные на предыдущем шаге алгоритма. Новые значения оптимальных управлений при уменьшении шага h вычисляются в программной реализации, представленной в листинге 3.
Листинг 3. Уменьшение шага h
for (int q = 0; q <= N - 1; q++) {
h = h / 2.0;
for (int n = 0; n <= N - 1; n++) {
Minimize(W1, n);
W1[n] = result[n];
}
}
После нахождения оптимальных управлений программное приложение осуществляет запись полученных значений массивов W1[n], W2[n], … в соответствующие файлы «W1.txt», «W2.txt», … для дальнейшего их использования припостроении графиков в пакете прикладных программ математического моделирования.
Сравним практические результаты прямого расчета с аналитическим решением задачи. Для проверки правильности кода результаты прямого расчета сравнивались с аналитическим решением с точностью ε = 10-4. В качестве примера взяты следующие исходные параметры: l = 1, a = 1, M1 = 20, M2 = 20, N = 40.
![Рисунок 1. Аналитическое решение Рисунок 1. Аналитическое решение](../../../../uploads/articles/2018/07-08/110_115_Development_Vibration_Damping_Methods_Using_Point_Stationary_Dampers_part2/Image01.gif)
Рисунок 1. Аналитическое решение
На рис. 1 представлен график значений сеточной функции , который полностью совпадает с графиком аналитического решения однородной задачи, которое имеет вид:
![](data:image/png;base64,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)
Примеры расчетов
Пример 1. В качестве примера рассматривается задача гашения колебаний мембраны с использованием одного точечного демпфера. В расчете принималось a = 1, l = 1, начальное положение демпфера (x1, y1) = (1/2, 1/2), hx = hy = 1/20, τ = 1/40. Начальные возмущения представлены функциями H0 = 4x(l1 – x)y(l2 – y).
Точность вычислений ε = 10-4. График строился в сечении y = 0,5 (см. рис. 2). Оптимальное управление W1(t), позволяющее погасить начальные колебания за время T = 2, показано на рис. 3.
![Рисунок 2. Процесс колебаний в сечении y = 0,5 Рисунок 2. Процесс колебаний в сечении y = 0,5](../../../../uploads/articles/2018/07-08/110_115_Development_Vibration_Damping_Methods_Using_Point_Stationary_Dampers_part2/Image02.gif)
Рисунок 2. Процесс колебаний в сечении y = 0,5
![Рисунок 3. Оптимальное управление W1(t). T = 2 Рисунок 3. Оптимальное управление W1(t). T = 2](../../../../uploads/articles/2018/07-08/110_115_Development_Vibration_Damping_Methods_Using_Point_Stationary_Dampers_part2/Image03.gif)
Рисунок 3. Оптимальное управление W1(t). T = 2
Пример 2. В данном примере были проведены расчеты с использованием одного точечного демпфера, но для более крупной сетки. Начальное положение демпфера (x1, y1) = (1/2, 1/2), hx = hy = 1/40, τ = 1/80. За время T = 1.8 происходит практически полное гашение колебаний. График строился в сечении y = 0,5 (см. рис. 4). График оптимального управления W1(t) представлен на рис. 5.
![Рисунок 4. Процесс гашения в сечении y = 0,5 Рисунок 4. Процесс гашения в сечении y = 0,5](../../../../uploads/articles/2018/07-08/110_115_Development_Vibration_Damping_Methods_Using_Point_Stationary_Dampers_part2/Image04.gif)
Рисунок 4. Процесс гашения в сечении y = 0,5
![Рисунок 5. Оптимальное управление W1(t). T = 1.8 Рисунок 5. Оптимальное управление W1(t). T = 1.8](../../../../uploads/articles/2018/07-08/110_115_Development_Vibration_Damping_Methods_Using_Point_Stationary_Dampers_part2/Image05.gif)
Рисунок 5. Оптимальное управление W1(t). T = 1.8
Рассмотрим аналитическое решение однородного уравнения для тестирования программного приложения решения задачи (1.1) – (1.3).
Для нахождения функции H0 из условий (1.2) решим следующую задачу:
(П 1.1)
при наличии условий начальных:
(П 1.2)
граничных:
(П 1.3)
Для этого воспользуемся методом Фурье, который базируется на разделении переменных в уравнении (П 1.1). Будем искать решение задачи в виде:
u(t, x) = T(t)X(x) (П 1.4)
Подставим вид функции u(t, x), представленный в виде (1.4), в исходное уравнение, получим следующее дифференциальное уравнение второго порядка:
(П 1.5)
Разделив переменные, получим:
(П 1.6)
Поскольку в уравнении (П 1.6) левая часть предполагает зависимость от t, а правая зависит только от x, то знак равенства между ними может иметь смысл при условии, что обе части равны постоянной:
(П 1.7)
В этом случае можно записать два дифференциальных уравнения:
![](data:image/png;base64,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)
Решим первое из этих уравнений с учетом начальных условий:
(П 1.8)
Общее решение дифференциального уравнения (П 1.8) будет иметь вид: X(x) = Acosλx + Bsinλx
Постоянные A, B находим из начальных условий в системе (П 1.8): A = 0, B = 1.
Таким образом, собственными числами задачи (П 1.8) будут λn = πn/l, а соответствующие им собственные функции Xn(x) = sin(λnx), n=1, 2, …
Задача
(П 1.9)
имеет решение вида: T(t) = Ccos(λnat) + Dsin(λnat).
С учетом начальных и граничных условий (П 1.2) и (П 1.3) соответственно общее решение задачи будет иметь вид:
![](data:image/png;base64,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)
- Марченко В.М. Температурные поля и напряжения в конструкциях летательных аппаратов. – Москва. Машиностроение, 1965.
- Lagness J. Control of wave process with distributed controls supported on a subregion // SIAM Journ. Control and Optim. 1983. Vol. 1, no. 1. Pp. 68-85.
- Russel D.L. Controllability and stabilization theory for linear partial differential equations // SIAM Review. 1978. Vol. 20, no. 5. Pp. 639-739.
- Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. – Москва. Наука, 1975. – 366 с.
- Бутковский А.Г. Приложение некоторых результатов теории чисел к проблеме финитного управления и управляемости в распределенных системах // ДАН СССР. 1976. Т. 227, № 2. – С. 309-311.
- Muravey L.A. Mathematical problems on the damp of vibration // Preprint of IFAC Conference «Identification and system parameter estimations». 1991. Vol. 1. Pp. 746-747.
- Levinson N. Gap and density theorem // Amer. Math. Soc. Colog. Publ. 1940. Vol. 26.
- Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимизация граничных управлений колебаниями струны // Успехи математических наук. 2005. Т. 60, № 6. – 89 с.
Ключевые слова: колебания, демпфер, мембрана, краевая задача, волновое уравнение, метод сеток, метод аппроксимации, градиент, метод Лагранжа, С#, условие устойчивости на Нейману, метод квадратичной параболы, метод координатного спуска, метод Фурье, дельта-функция Дирака.
Development of vibration damping methods using point stationary dampers. Part 2. Fluctuations of a flat membrane
Troenko S.Yu., Moscow Aviation Institute (National Research University), bachelor, 813 department
Povalyaev P.P., Moscow Aviation Institute (National Research University), 812 department, engineer
Abstract: In this paper we consider the problem of damping vibrations of a plane membrane using several point dampers. Methods for damping vibrations of a plane membrane using several point stationary dampers for arbitrary initial perturbations are proposed. As the boundary conditions, the fastening conditions are considered. A numerical algorithm for solving the problem of damping vibrations of a plane membrane using a coordinate method is developed. A software application has been developed that implements numerical methods and visualizes the main results of this work for different values of the initial data. The application is written in C #.
Keywords: oscillations, damper, membrane, boundary value problem, wave equation, grid method, approximation method, gradient, Lagrange method, C #, Neumann stability condition, quadratic parabola method, coordinate descent method, Fourier method, Dirac delta function.
Facebook
Мой мир
Вконтакте
Одноклассники
Google+
|