Егорова М.В., Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), 812 кафедра, ведущий инженер

Разработка математических моделей
деградационных процессов лавинного типа с помощью метода наименьших квадратов

В данной статье представляется модель деградационных процессов, основанная на простом интерфейсе и обладающая большим функционалом. Система позволяет избавиться от проблем в прогнозировании отказа эксплуатируемых электротехнических устройств. Для реализации данной программы был выбран язык программирования C# и СУБД Microsoft Office Access. Данная программа состоит из двух форм: форма «Моделирование деградационных изменений» иформа «Ввод данных вручную». Вся информация хранится в файлах формата accdb (открыть данный файл можно с помощью программы Microsoft Office Access) для возможности внесения изменений пользователями, не имеющими опыт работы с СУБД

Изменения параметров изделия, вызванные деградационными процессами старения, проявляются не сразу после начала эксплуатации, а в некоторый неизвестный момент времени. Таким образом, весь «срок жизни» изделия от постановки вэксплуатацию до снятия с нее может быть разбит на два интервала, соответствующих стационарному и нестационарному характеру поведения определяющих параметров. В случае если предельно допустимое значение определяющего параметра находится в данном интервале, принимается решение о снятии изделия с эксплуатации в целях предотвращения возможного отказа. С этой целью была разработана модель деградационных процессов.

Актуальность выбранной темы заключается в следующем:

• небольшое число обобщенных моделей для анализа электротехнических устройств;
• небольшой объем информации о моделях с детализированным описанием рабочих процессов в электротехнических устройствах;
• недостаток универсальных динамических моделей деградации электротехнических устройств, использующих технические параметры;
• наличие сложных, громоздких программных комплексов;
• потребность разработки компактного ПО для анализа деградационных процессов электротехнических устройств.

Целью работы является исследование деградационных процессов лавинного типа и построение математической модели на электронно-вычислительной машине. Это позволит избавиться от проблем в прогнозировании отказа эксплуатируемых электротехнических устройств.

Для достижения поставленной цели определены следующие задачи:

1. Исследование нелинейных уравнений, принятых для описания лавинных процессов, подбор линеаризующих преобразований и построение многофакторной модели.
2. Разработка математической модели деградационных процессов методом наименьших квадратов (МНК).
3. Реализация на ЭВМ ПО разрабатываемых моделей деградационных процессов.
4. Подтверждение адекватности модели на числовом примере.

В настоящее время для изучения свойств сложных систем, особенно при экспериментальных исследованиях, используется подход, основанный на анализе сигналов, произведенных самой исследуемой системой. Это особенно актуально, когда математически описать изучаемую систему, ее структуру и протекающие в ней процессы практически невозможно. Но в распоряжение исследователя можно представить некоторую характерную наблюдаемую величину (или несколько величин). Наблюдаемая последовательность значений исследуемой переменной, регистрируемая непрерывно, в отдельные моменты времени или в зависимости от некоторой независимой переменной, называется временным рядом.

Метод научного исследования, который основан на распространении прошлых и настоящих тенденций, закономерностей и связей на будущее развитие исследуемого объекта называется экстраполяцией. Цель методов экстраполяции – показать, к какому состоянию в будущем может прийти объект, если его развитие будет осуществляться в тех же условиях, с той же скоростью или ускорением, что и в прошлом, в истории его функционирования. Пусть при исследовании объекта произведена серия измерений и получен временной ряд в табличной форме. Для отыскания эмпирической аналитической формулы, аппроксимирующей полученный временной ряд, существует множество способов теории приближения функций.

Наиболее популярными являются линейные регрессионные модели. Параметры в таких моделях входят линейно, а независимые переменные – нелинейно. Это позволяет находить параметры эмпирических моделей методом наименьших квадратов (МНК).

В соответствии с методом МНК аппроксимирующая эмпирическая функция имеет наименьшее среднее квадратическое отклонение от точек экспериментального временного ряда. Из-за простоты, доступности, удобства интерпретации, обеспечения приемлемой точности МНК нашел широчайшее применение в моделировании различных процессов: при моделировании технологических процессов, особенно при моделировании процессов в нефтегазодобывающей промышленности, при моделировании процессов в экономике, при моделировании процессов в сложных системах. МНК является регрессионным методом. Все уравнения регрессии по МНК можно разделить на линейные и нелинейные.

Линейные уравнения регрессии имеют вид:

y = a + bx; y = a

Нелинейные уравнения регрессии можно тоже разделить на два класса:

• уравнения, которые с помощью замены переменных можно привести к линейному виду в новых переменных x' и y':

y' = a' + b'x'

• нелинейные уравнения регрессии полиномиального типа, для которых можно сформировать линейные относительно параметров нормальные системы уравнений по МНК:

P2(x) = a₀ + a₁x₁ + a₂x₂;

P3(x) = a₀ + a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃;

Все рассмотренные уравнения регрессии – парные, связывают две переменных y и x:

y = f(x)

Здесь y – зависимая переменная, результативный признак; x – независимая переменная, признак-фактор. Поэтому парная регрессия является однофакторной.

При использовании оценок параметров уравнения регрессии, полученных различными способами, важно быть уверенным в том, что они являются «лучшими» среди всех остальных возможных оценок. Наилучшее качество оценок МНК подтверждает теорема Гаусса-Маркова. Оценки параметров линейной регрессии, полученные методом МНК, будут несмещенными и эффективными (т.е. будут иметь наименьшую дисперсию) в классе линейных несмещенных оценок привыполнении четырех условий, известных как условия Гаусса-Маркова.

Эти условия принимают в качестве основных предпосылок регрессионного анализа.

Пусть парную линейную регрессию описывает уравнение:

y = a + bx

Погрешность аппроксимации εi в каждой точке можно записать в виде:

y_i = a + bx_i + ε_i

Первое условие Гаусса-Маркова: математическое ожидание случайной погрешности εi равно нулю в любом наблюдении: M(ε_i) = 0.

Второе условие Гаусса-Маркова: дисперсия случайной погрешности εi постоянна для всех наблюдений: .

Третье условие Гаусса-Маркова: значения случайных погрешностей в любых наблюдениях ε_i и ε_j не коррелируют между собой: COV(ε_i, ε_j) = 0, i ≠ j.

Четвертое условие Гаусса-Маркова: случайная погрешность должна быть распределена независимо от объясняющих переменных x_i: COV(x_i, ε_i) = M(x_i, ε_i) = 0, где учтено, что: M(ε_i) = 0.

Если в процессе эксплуатации на характеристический параметр оказывают влияние не один, а несколько факторов, среди которых выделить один доминирующий не удается, то необходимо использовать множественную регрессию.

Например, при эксплуатации асинхронных электродвигателей их износ, старение элементов происходит, во-первых, во времени, а во-вторых, зависит от количества циклов запуск-останов.

Основные цели множественной регрессии:

1. построить модель с несколькими факторами;
2. определить при этом влияние каждого фактора в отдельности на характеристический показатель;
3. оценить уровень совместного воздействия факторов на исследуемый показатель.

Уравнение линейной множественной регрессии можно записать в виде:

y = a₀ + a₁x₁ + a₂x₂ +...+ a_nx_n;

В экспериментах при проведении измерений получающиеся эмпирические массивы данных зашумлены статистическими погрешностями (см. рис. 1).

Рисунок 1. Эмпирическая кривая с «шумами»

Погрешности зависят от точности измерительных приборов, изменяющихся показателей внешней среды, качеств и профессионального опыта экспериментатора и т.д. Для деградационных процессов, отличающихся, как правило, отсутствием колебательной составляющей, аппроксимирующие функции по МНК позволяют уточнить результаты эксперимента, «сгладить» шумы, уменьшить или даже исключить их искажающее действие и выполнить более точный анализ состояния объекта и прогноз его характеристик в будущем.

Достоинствами МНК являются:

1. Возможность моделирования любых экспериментальных процессов.
2. Метод не зависит от количества экспериментальных точек; чем больше точек, тем точнее информационная табличная модель процессов, тем точнее аппроксимирующие функции.
3. Метод обеспечивает наилучшее приближение аппроксимирующей функции с наименьшим средним квадратическим отклонением.
4. Большой набор различных типов и классов аппроксимирующих функций, позволяющий найти функцию, максимально точно отражающую экспериментальный процесс.
5. Возможность аппроксимации функций одного переменного (при парной регрессии) и нескольких переменных (при множественной регрессии).
6. При многофакторном анализе возможность установить изменение характеристической величины от совокупного воздействия всех факторов, при этом определить долю влияния каждого фактора в отдельности, оценить уровень взаимодействия факторов и их совместного воздействия на исследуемый показатель.
7. При построении временных рядов для деградационных процессов добавление данных последующих наблюдений уточняет общую эмпирическую статистическую совокупность и, таким образом, уточняет функцию прогноза по МНК.

Недостатки МНК состоят в следующем:

1. Не все аналитические функции могут быть использованы для моделирования методом МНК.
2. Резкий рост трудоемкости метода и алгоритма при усложнении аппроксимирующей функции всего на одно слагаемое.

Под лавинными понимают процессы со стремительным ростом сигнала при определенных условиях. Лавинный характер имеют вольт-амперные характеристики (ВАХ) некоторых электронных устройств: биполярных и полевых транзисторов, стабилитронов, стабилизаторов напряжения и др.

На рис. 2 представлен качественный график вольт-амперной характеристики стабилизатора напряжения и приведена таблица значений качественного графика, отражающая его закономерность (см. таблицу 1). Для понимания особенностей моделирования лавинных процессов числовые значения графика и таблицы заданы абстрактными величинами.

Рисунок 2. Качественный график вольт-амперной характеристики

Нужно подобрать вид аналитической зависимости у = f(х), приближающей таблицу 1 и график (см. рис. 2).

Таблица 1

Для приближения функций широкое распространение получил метод наименьших квадратов (МНК) с полиноминальным видом:

f(x) = a₀ + a₁x + a₂х₂ +…

Однако полином не годится для приближения лавинных процессов, потому что плохо отражает участки стремительного роста сигналов, участки с крутыми фронтами.

Для моделирования таких процессов подходят дробно-рациональные функции вида:

Определим параметры, а и b методом наименьших квадратов (МНК).

Согласно методу МНК наилучшими параметрами a и b считают те, для которых сумма квадратов уклонений минимальна:

При моделировании функций деградационного изменения характеристических параметров некоторые данные получают, как правило, экспериментально в процессе эксплуатации в табличной форме.

При этом важно отметить, что фиксируют показатели конкретного устройства, работающего в конкретных условиях. По табличным данным именно контролируемого устройства нужно установить аналитические закономерности деградационного изменения его параметров и характеристик и по ним прогнозировать интервалы дальнейшей безопасной работы и ожидаемые моменты отказов, чтобы таким образом предотвратить опасность аварий. Наилучшие результаты в определении аналитических зависимостей обеспечивает метод наименьших квадратов (МНК).

Дробно-рациональные функции вида:

При х = 0 функция y = a₀ = b/c. При х = b/a получаем y =0. При x → c функция y имеет вертикальную асимптоту x = c, таким образом отражает лавинно изменяющийся процесс, процесс с крутым фронтом. При b/a > c – лавинно растущий процесс, при b/a < c – лавинно падающий процесс. Качественные характеристики представлены на графике (см. рис. 3).

Рисунок 3. Деградационные изменения характеристического параметра при дробно-рациональном законе

Под лавинными понимают процессы стремительного изменения характеристических параметров (роста или спада). Деградационные лавинные процессы наступают в результате износа отдельных узлов или элементов. Для моделирования лавинных процессов с крутыми фронтами целесообразны дробно-линейные и степенные функции вида:

Для этой функции нормальную систему по МНК можно записать в виде:

Анализ данной системы показывает, что она не линейна относительно коэффициентов и содержит слагаемые с a₂, b₂, ab, ac, bc.

Для упрощения нормальной системы по МНК предложено следующее:

• моделировать деградационные отклонения φ(x_i) = y(x_i) – a₀;
• при x = 0 функция y₄ = a₀, отсюда можно установить взаимную связь между параметрами b и c: b/c = a₀, b/c = a₀c;
• записать функцию y₄ в виде:

Здесь a = (a₀ + 1/p); с = q/p. Для нахождения p и q составим систему двух уравнений по МНК:

Если в эту систему ввести обозначения

то нормальную систему уравнений по МНК для рассматриваемой системы можно записать в виде:

Решение этой системы позволит определить параметры функции φ₄(x) и далее y(x).

1. Достоинства моделирования деградационных изменений характеристических параметров лавинного типа:
   • Параметры аналитической зависимости процесса насыщения могут быть установлены на начальных этапах его наблюдения.
   • По начальному наблюдению можно прогнозировать показатели и характеристики для последующих моментов.
   • Для определения параметров искомой аппроксимирующей функции необходимы координаты n ≥ 3 точек. По МНК чем больше точек экспериментальной функции получено, тем лучше. И все данные используются для расчета параметров.
   • На каждом этапе наблюдения параметры аналитической зависимости можно уточнять и, таким образом, вернее прогнозировать последующий ход процесса. Последнее особенно важно при определении моментов отказа технических устройств и при определении сроков их безотказной работы.
2. Эффективность решения задач в значительной мере зависит от точности идентификации деградационных процессов рассматриваемых объектов при их эксплуатации. Но использование модемного анализа позволяет несколько снизить требования к точности за счет применения методов наименьших квадратов (МНК) и др. Они позволяют получить положительные результаты, связанные с эксплуатационной надежностью, с оценкой состояния объектов иустановлением возможного предела их эксплуатации.
3. Для прогноза состояния многорежимных объектов рассмотрен пример с использованием нелинейной регрессионной модели объекта, полученной в результате предварительного многофакторного эксперимента. Работоспособность предложенной методики подтверждена путем реализации центрально-композиционного плана испытаний центробежного насоса при исследовании влияния на его виброактивность степени изношенности подшипника и режимных факторов (частоты вращения и давления смазки).

Для реализации программы мною был выбран язык C# и СУБД Microsoft Office Access.

Программа состоит из двух форм:

1) Форма «Моделирование деградационных изменений» – основная форма программы, содержащая управляющее меню, с помощью которого можно выполнить следующие действия (см. рис. 4):

• «Дробно-рациональная функция» → «Данные из БД» – открытие файла базы данных, содержащего данные характеристических параметров (X,Y).
• «Дробно-рациональная функция» → Форма «Ввод данных вручную» – вызвать форму для ввода данных вручную.

Рисунок 4. Форма «Моделирование деградационных изменений»

Эти действия позволят провести исследование лавинных процессов.

• «Прогноз предельного состояния» → «Данные из БД» – открытие файла базы данных, содержащего данные характеристических параметров (X,Y).
• «Прогноз предельного состояния» → Форма «Ввод данных вручную» – вызвать форму для ввода данных вручную.

Эти действия позволят провести анализ деградационных изменений и вычислить прогноз предельного состояния.

• «Выход» – завершение работы программы.

2) Форма «Ввод данных вручную» позволяет ввести данные характеристических параметров вручную в любом удобном формате (через пробел, перевод строки, числа двойной точности понятны программе как с запятой, так и с точкой) (см. рис. 5).

Рисунок 5. Форма «Ввод данных вручную»

Рассмотрим примеры из написанного кода программы.

Класс Stack{} – класс, необходимый для хранения данных характеристических параметров, которые доступны и известны в любой части программы.

public class Stack
    {
        public static ArrayList x = new ArrayList();
        public static ArrayList y = new ArrayList();
        public static ArrayList y1 = new ArrayList();
         public static void PushX(object o)
         { x.Add(o);}
         public static void PushY(object o)
         { y.Add(o); }
         public static void PushY1(object o)
         { y1.Add(o); }
    }

1) Исследование лавинных процессов.

private void данныеИзБДToolStripMenuItem_Click(object sender, EventArgs e)
        {
            if (Class2.Connect() == 0)
            {
                object[] A = { "Файл не выбран" };
                MessageBox.Show(String.Format(" {0}", A));
            }
            else
            {
                chart1.Series.Clear();
                richTextBox1.Visible = false;
                Class1 class1 = new Class1();
                class1.select();
                M_N_K();
                dataGridView();
                Chart();
            }
        }

Статический класс Class2{} позволяет пользователю во время работы программы выбрать любую базу данных. База данных должна содержать таблицу «data» со столбцами «X» и «Y».

Класс Class1{} представляет собой класс шаблона проектирования «шлюз», взаимодействующего с базой данных, которую выберет пользователь.

Функция M_N_K() реализует метод наименьших квадратов и метод Крамера:

private void M_N_K()
        {
            double a = 0;            double b = 0;            double x = 0;
            double y = 0;            double sx = 0;           double sy = 0;
            double S2 = 0;           double S3 = 0;           double T1 = 0;
            double T2 = 0;           double T3 = 0;           double D = 0;
            double Da = 0;           double Db = 0;
            for (int i = 0; i < Stack.x.Count; i++)
            {
                x = Convert.ToDouble(Stack.x[i]);
                y = Convert.ToDouble(Stack.y[i]);
                sx += x;
                sy += y;
                S2 += x * x;
                S3 += x * x * x;
                T1 += x * y;
                T2 += (x * x) * y;
                T3 += (x * x * x) * y;
            }
            D = T2 * T2 - T1 * T3;
            Da = S2 * T2 - T1 * S3;
            Db = T2 * S3 - S2 * T3;
            a = Da / D;
            b = Db / D;
            for (int i = 0; i < Stack.x.Count; i++)
            {
                Stack.PushY1((Convert.ToDouble(Stack.x[i])) / (a * (Convert.ToDouble(Stack.x[i])) + b));
            }
        }

Функция dataGridView() выводит значения характеристических параметров в виде таблицы.

Функция Chart() выводит графическое изображение деградационных изменений.

2) Анализ деградационных изменений и прогноз предельного состояния.

private void данныеИзБДToolStripMenuItem1_Click(object sender, EventArgs e)
        {    
            if (Class2.Connect() == 0)
            {
                object[] A = { "Файл не выбран" };
                MessageBox.Show(String.Format(" {0}", A));
            }
            else
            {
                chart1.Series.Clear();
                richTextBox1.Visible = false;
                Class1 class1 = new Class1();
                class1.select();
                double x_Pr = Pr_S();
                Chart();
                dataGridView();
                Chart_Pr(x_Pr);
            } 
        }

Функция Pr_S() реализует метод наименьших квадратов и поиск предельного состояния:

private double Pr_S()
        {
            double p = 0;            double q = 0;            double x = 0;
            double y = 0;            double S2 = 0;           double S3 = 0;
            double T1 = 0;           double T2 = 0;           double T3 = 0;
            double D = 0;            double Dp = 0;           double Dq = 0;
            double Pr = 0.5;         double x_Pr = 0;
            for (int i = 0; i < Stack.x.Count; i++)
            {
                x = Convert.ToDouble(Stack.x[i]);
                y = Convert.ToDouble(Stack.y[i]);        
                S2 += x * x;
                S3 += x * x * x;
                T1 += x * y;
                T2 += (x * x) * y;
                T3 += (x * x * x) * y;
            }
            D = T2 * (-T2) - (-T1) * T3;
            Dp = S2 * (-T2) - (-T1) * S3;
            Dq = T2 * (S3) - S2 * T3;
            p = Dp / D;
            Console.WriteLine(p);
            q = Dq / D;
            Console.WriteLine(q);
            for (int i = 0; i < Stack.x.Count; i++)
            {
                Stack.PushY1((Convert.ToDouble(Stack.x[i])) / (p * (Convert.ToDouble(Stack.x[i])) - q));
            }
            x_Pr = Pr * q / (Pr * p - 1);
            Console.WriteLine(x_Pr);
            return x_Pr; }

Результат работы программы (см. рис. 6-8).

Рисунок 6. Выбор файла базы данных

Рисунок 7. Исследование лавинных процессов

Рисунок 8. Анализ деградационных изменений и прогноз предельного состояния

Основные результаты работы:

• Разработаны регрессионные математические модели деградационных изменений лавинного типа для однопараметрических и многопараметрических зависимостей.
• Новизна задачи:
  1. Моделирование деградационных отклонений характеристик электротехнических устройств на основе обработки временных рядов методом наименьших квадратов, что снизило размерность задачи.
  2. Приведена методика оценки и прогнозирования остаточного ресурса электротехнических устройств.
• Практическая значимость:
  1. Разработан программный комплекс анализа деградационных изменений характеристик элементов электротехнических устройств.
  2. Выполнен прогноз экстраполяции в заданных условиях, проведен вычислительный эксперимент. eof

1. Лоскутов А. Ю. Анализ временных рядов. Курс лекций. – М.: Физический факультет МГУ, (год неизвестен). – 113 с.
2. Лоскутов А. Ю., Михайлов А. С. Основы теории сложных систем. – М.: Регулярная и хаотическая динамика, 2007. – 620 с.
3. G ouesbet G., Meunier – Guttin – Cluzel S., Menard O. (eds) Chaos and Its Reconstruction (New York: Nova Sci. Publ., 2003).
4. Безручко Б. П., Смирнов Д. А. Математическое моделирование и хаотические временные ряды. – Саратов: ГосУНЦ «Колледж», 2005. – 320 с.
5. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1966. – 664 с.
6. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. – М.:Бином, 2003. – 630 с.

Ключевые слова: деградационные процессы, метод наименьших квадратов, нелинейные уравнения, лавинный процесс, многофакторная модель, линейная регрессионная модель, С#, Microsoft Office Access, дробно-рациональная функция, метод Крамера, экстраполяция, теорема Гаусса-Маркова.

Development of mathematical models of avalanche-type degradation processes using the method of least squares

Egorova MV., Moscow Aviation Institute (National Research University), 812 Chair, Lead Engineer

Abstract: This article presents a model of degradation processes based on a simple interface and having great functionality. The system allows you to get rid of problems in predicting the failure of operated electrical devices. To implement this program was chosen programming language C # and DBMS Microsoft Office Access. In this program consists of 2 forms: the form "Modeling of degradation changes" and the form "Entering data manually". All information is stored in files of the accdb format (you can open this file using the Microsoft Office Access program), for the possibility of making changes to users who do not have experience with the DBMS.

Keywords: degradation processes, least-squares method, nonlinear equations, avalanche process, multifactor model, linear regression model, C #, Microsoft Office Access, fractional-rational function, Cramer method, extrapolation, Gauss-Markov theorem.

Комментарии могут оставлять только зарегистрированные пользователи