Странная формула. Часть 2. Множества и функции::Журнал СА 12.2013
www.samag.ru
     
Поиск   
              
 www.samag.ru    Web  0 товаров , сумма 0 руб.
E-mail
Пароль  
 Запомнить меня
Регистрация | Забыли пароль?
Журнал "Системный администратор"
Журнал «БИТ»
Подписка
Архив номеров
Где купить
Наука и технологии
Авторам
Рекламодателям
Контакты
   

  Опросы
  Статьи

Разбор полетов  

Ошибок опыт трудный

Как часто мы легко повторяем, что не надо бояться совершать ошибки, мол,

 Читать далее...

Принципы проектирования  

Dependency Inversion Principle. Принцип инверсии зависимостей в разработке

Мы подошли к последнему принципу проектирования приложений из серии SOLID – Dependency

 Читать далее...

Рынок труда  

Вакансия: Администратор 1С

Администратор 1С – это специалист, который необходим любой организации, где установлены программы

 Читать далее...

Книжная полка  

Книги для профессионалов, студентов и пользователей

Книги издательства «БХВ» вышли книги для тех, кто хочет овладеть самыми востребованными

 Читать далее...

Принципы проектирования  

Interface Segregation Principle. Принцип разделения интерфейсов в проектировании приложений

Эта статья из серии «SOLID» посвящена четвертому принципу проектирования приложений – Interface

 Читать далее...

1001 и 1 книга  
19.03.2018г.
Просмотров: 10447
Комментарии: 0
Потоковая обработка данных

 Читать далее...

19.03.2018г.
Просмотров: 8632
Комментарии: 0
Релевантный поиск с использованием Elasticsearch и Solr

 Читать далее...

19.03.2018г.
Просмотров: 8737
Комментарии: 0
Конкурентное программирование на SCALA

 Читать далее...

19.03.2018г.
Просмотров: 5510
Комментарии: 0
Машинное обучение с использованием библиотеки Н2О

 Читать далее...

12.03.2018г.
Просмотров: 6189
Комментарии: 0
Особенности киберпреступлений в России: инструменты нападения и защита информации

 Читать далее...

Друзья сайта  

 Странная формула. Часть 2. Множества и функции

Архив номеров / 2013 / Выпуск №12 (133) / Странная формула. Часть 2. Множества и функции

Рубрика: Карьера/Образование /  Кафедра

Алексей Вторников АЛЕКСЕЙ ВТОРНИКОВ, ЗАО КБ «Ростовский Универсальный», ведущий программист, pdp8dec@gmail.com

Странная формула
Часть 2. Множества и функции

Продолжаем обсуждение формулы Nn → N, выражающей сущность программирования с точки зрения математики. На нескольких примерах детально рассмотрим фундаментальное понятие «счетность». Результаты окажутся очень и очень неожиданными!

«Большинство из нас учили математику либо очень плохо, либо вообще не учили».

С. Лилли «Теория относительности для всех

Напомним, что счетными называются такие множества, элементы которых можно поставить в 1-1 соответствие с элементами натурального ряда (т.е. числами 0, 1, 2, ...). Мы в первой части статьи [1] рассмотрели несколько таких соответствий. В этой части мы продолжим знакомство с бесконечными множествами и убедимся в удивительных свойствах некоторых, казалось бы, хорошо известных числовых последовательностей. Правда, для этого придется немного повозиться с элементарными выкладками, но если вы хоть немного помните школьный курс алгебры, то особенных сложностей быть не должно...

Нумерация целых чисел

После того как была установлена счетность последовательностей положительных четных и нечетных чисел (и их равномощность натуральному ряду), что можно сказать о последовательности целых чисел (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...)? Существует ли функция, которая устанавливает 1-1 соответствие элементов множеств N и Z?

Прежде чем читать дальше, потратьте пять минут и попробуйте построить эту функцию самостоятельно. Да, такая функция существует и может выглядеть, например, так:

  • для четных натуральных – (0, 2, 4, ...) : n/2
  • для нечетных натуральных – (1, 3, 5, ...) : -(n+1)/2

Напомним, что функция может быть задана как аналитическим выражением вроде ln (sin (x/2), так и многими другими способами, в том числе тем, что использован выше.

Проверим, как «работает» эта функция:

N: 0 1 2 3 4 5 6 ...
   
Z: 0 -1 1 -2 2 -3 2 ...

Таким образом, мы построили 1-1 соответствие между множествами N и Z, и, следовательно, множество Z счетно и имеет мощность натурального ряда χ0. Иначе говоря, множества N и Z эквивалентны (но в то же время натуральные составляют собственное подмножество целых). Неожиданно, не правда ли? Конечно, такая нумерация выглядит непривычно (так, отрицательному целому числу -100 соответствует положительное натуральное 199), но она работает, а это в конечном счете главное. То, что целые числа расположены не подряд, а вперемешку, не должно нас смущать – мы ведь рассматриваем неупорядоченные множества, а в них порядок элементов несуществен; главное, чтобы не было пропусков.

А что же рациональные числа?

Напомним, что рациональными называются числа вида m/n, где m и n – целые, n ≠ 0 (например, 1/2, -14/5 и т.д.); целые числа являются подмножеством рациональных, так как всякое целое число, очевидно, может быть представлено в виде m/1.

Если воспользоваться традиционным способом представления чисел в виде точек на числовой оси, то целые числа расположены на ней изолированно: между соседними целыми (такими, как, например, -2 и -1 или 51 и 52) никаких других целых нет.

А что можно сказать о рациональных числах? Сколько их? Образуют ли они счетное множество (иначе говоря, можно ли их перенумеровать) или нет?

Рассмотрим два любых рациональных числа, скажем, 1/4 и 1/2 (в привычной записи с десятичной точкой им соответствуют числа 0,25 и 0,5). Совершенно очевидно, что между ними можно найти хотя бы еще одно рациональное число, равное, например, полусумме исходных, число 3/8 (или 0,375 в записи с десятичной точкой). Применяя тот же прием, но уже к паре 1/4 и 3/8 (или к паре 3/8 и 1/2), можно найти следующее рациональное число, и так до бесконечности. Таким образом, рациональные числа заполняют числовую ось гораздо плотнее целых: как бы близко ни были расположены друг к другу два рациональных числа, между ними всегда найдется еще их бесконечное количество.

Статью целиком читайте в журнале «Системный администратор», №12 за 2013 г. на страницах 76-81.


Комментарии отсутствуют

Добавить комментарий

Комментарии могут оставлять только зарегистрированные пользователи

               Copyright © Системный администратор

Яндекс.Метрика
Tel.: (499) 277-12-41
Fax: (499) 277-12-45
E-mail: sa@samag.ru