|
Рубрика:
Наука и технологии /
Раздел для научных публикаций
|
Facebook
Мой мир
Вконтакте
Одноклассники
Google+
|
 ОРУДЖЕВ Э.Г., доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математической экономики Бакинского государственного университета, Азербайджанская Республика, elsharorucov63@mail.ru
АЛИЕВ С.А., Нахичеванский институт учителей, кафедра высшей математики и информатики, старший преподаватель, Азербайджанская Республика, sahil.liyev83@mail.ru
Исследование спектра и резольвенты
одного дифференциального пучка четвертого порядка с трехкратным характеристическим корнем
В работе в пространстве L2(0;∞) исследуются спектр и резольвента пучка дифференциальных операторов четвертого порядка, когда главный характеристический полином имеет один трехкратный корень. Показано, что пучок может иметь воткрытой нижней и открытой верхней полуплоскостях конечное или счетное число собственных значений, а непрерывный спектр заполняет всю действительную ось, где могут находиться спектральные особенности. Доказано, чторезольвента пучка является ограниченным интегральным оператором, определенным на всем пространстве L2(0;∞), с ядром типа Карлемана
В проcтранстве L2(0;∞) рассмотрим пучок дифференциальных операторов Lαλ, порожденный дифференциальным выражением:
 (1)
и граничным условием:
 (2)
где λ – спектральный параметр, r(x), p(x), q(x) – комплекснозначные функции, определенные и непрерывные на [0;∞), соответственно имеют непрерывные производные до порядка 3, 4, 5 включительно, сходятся интегралы
 (3)
αvk, v=1,3, k=0,3 – фиксированные комплексные числа, такие, что формы Uv(Y) линейно независимы, число граничных условий меняется в зависимости от местонахождения параметра λ в комплексной плоскости.
Спецификой пучка Lαλ является то, что главный характеристический многочлен уравнения (1) имеет трехкратный корень i и простой корень i. В общем случае кратных корней этого многочлена формальные решения уравнения сполиноминальным вхождением λ могут содержать дробные степени параметра как в показателе экспоненты, так и при множителе экспоненты, и сама структура асимптотических представлений не только зависит от старших коэффициентов, но и алгебраических комбинаций при низких степенях параметра [1]. Здесь учтены эти свойства таким образом, что формальные решения не содержали дробные степени параметра.
Прямые спектральные аспекты обыкновенных дифференциальных операторов на конечном отрезке в случае различных корней главного характеристического многочлена изучены достаточно хорошо. Наиболее полные исследования различных спектральных аспектов проведены в работах Г.Д. Биркгофа, Я.Д. Тамаркина, М.А. Наимарка, М.В. Келдыша, А.Г. Костюченко, В.А. Ильина, В.А. Марченко, М.Г. Гасымова, М.Л. Расулова, А.А. Шкаликова и др.
В частности, вопросы кратной полноты системы собственных и присоединенных функций подобных пучков решены в зависимости от расположения этих корней. При этом существенным условием кратной полноты является расположение характеристических корней на различных лучах, исходящих из начала координат. При нарушении этого условия данная система присоединенных функций обладает бесконечным дефектом в смысле кратной полноты [2, 3, 4].
Дифференциальные пучки, заданные на бесконечных интервалах, также изучены довольно хорошо в случае различных характеристических корней. И здесь обнаружен такой эффект, что число граничных условий на левом конце в случае полуоси также зависит от местонахождения параметра λ и связано с расположением корней характеристического полинома, и соответствующий несамосопряженный пучок не является аналитической функцией параметра λ во всей комплексной плоскости [5, 6], но является аналитической функцией от λ в верхней и нижней полуплоскостях с разрезом вдоль вещественной оси.
Ввиду того, что рассматриваемый здесь пучок имеет один трехкратный характеристический корень, а это означает, что все они лежат на одном луче, выходящем из начала координат, а второй корень на противоположном луче относительно начала координат, надо провести специальное исследование этого пучка.
Когда имеются характеристические кратные корни, но они симметрично расположены относительно начала координат, соответствующие результаты о разложении по собственным функциям непрерывных и дискретных спектров получены вработах [7, 8, 9].
В работах [10, 11] исследовано уравнение (1) и построены операторы преобразования, переводящее решения уравнения:
на решения уравнения (1).
В частности, в [11] получено, что уравнение (1) имеет фундаментальную систему решений Yj(x,λ), j=1,4, которые удовлетворяют условиям:
|
Исследование спектра и резольвенты одного дифференциального пучка четвертого порядка с трехкратным характеристическим корнем