|
Рубрика:
Наука и технологии /
Раздел для научных публикаций
|
Facebook
Мой мир
Вконтакте
Одноклассники
Google+
|
 БОРИСОВ Н.И., д.т.н., профессор, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», Москва, nborisov@hse.ru
КАСАТКИН А.Д., инженер, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», Москва, adkasatkin@hse.ru
ПРЕСНЯКОВ С.А., ассистент, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», Москва, spresnyakov@hse.ru
Снижение трудоемкости вычислений
за счет настройки макромодели на диапазон расчета выходных характеристик схемы
Излагается формальный метод построения макромодели линейной эквивалентной электрической схемы, сформированной в однородном координатном базисе. По макромодели с одинаковой точностью, но с увеличенной на несколько порядков скоростью вычисления, могут проводиться те же расчеты, что и по исходной модели. Скорость многовариантного вычисления частотных характеристик может быть повышена за счет построения и редукции в каждой точке частотного диапазона системы линейных алгебраических уравнений
По модели схемы, построенной в расширенном координатном базисе
строится макромодель
 (1.1)
где Aij(p)=Cijp+Gij, i,j=1,2, X1 – (M×1)-вектор «внутренних» переменных; X2 – (m×1)-вектор «внешних» переменных схемы, отражающих соотношения типа «вход-выход» и, если необходимо, малое количество варьируемых параметров, содержащихся в малом количестве уравнений Q=(q1,...,qk)T, M>>m, m+M=N, p=jω,  , ω – круговая частота.
Ясно, что основной проблемой построения макромодели является вычисление в аналитическом виде матрицы A–111(p). Для этого необходимо вычислить все собственные значения и правые и левые собственные векторы матрицы A11(p)=C11p+G11.
При условии, что матрица C11p+G11 является регулярной, т.е. detG11≠0, вид обратной матрицы определяется следующим образом:
(C11p+G11)–1=B11(D11p+E11)–1ST11
где B11 – матрица правых собственных векторов, S11 – матрица левых собственных векторов, D11=–diag(λ–11,...,λ–1M), det(C11λi+G11)=0, i=1,M, E11 – единичная матрица соответствующего размера [1, 2, 3]. При этом длины правых илевых собственных векторов должны удовлетворять условию следующей нормировки:
ST11G11B11=E11
Подстановка вычисленной обратной матрицы в макромодель (1.1), а также перемножение окаймляющих обратную матрицу матриц на матрицы собственных векторов приводит к окончательному виду макромодели [4, 5]:
 (1.2)
Макромодель получена с учетом того, что rangC11=r<M. Вследствие этого левая верхняя диагональной матрицы (D11p+E11)–1 является единичной ранга r–M. Тогда U21, V21, U12, V12 – числовые вещественные (r×M) и (M×r)-матрицы соответственно, а матрицы V2, V1, V0 и векторы YM–r,1, YM–r,0 являются матрицами и векторами соответствующего размера.
Частотные характеристики могут вычисляться по макромодели (1.2) заменой буквы p на переменную Лапласа jω, а градиент выходной характеристики вычисляется тривиальным образом.
Трудоемкость построения макромодели примерно равна M4 вещественных мультипликативных операций (ВМО), т.е. трудоемкости вычисления собственных значений и векторов матрицы A11(p).
Трудоемкость вычисления одной точки частотных характеристик по макромодели состоит из двух частей:
- T1≈6mr+4m2r+3m2 ВМО – трудоемкость формирования числовой системы уравнений по макромодели;
- T2≈4m3/3+6m2 ВМО – трудоемкость решения комплексной системы линейных алгебраических уравнений с помощью нормализованного LQ – разложения с использованием матриц отражения.
Как видно из последних выражений, трудоемкость T1 существенно больше трудоемкости T2. В связи с этим по макромодели предлагается формировать и запоминать lx систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) следующего вида:
 (1.3)
где Ai – числовая (m×m)-матрица с комплексными коэффициентами, Bi(Q) – (m×m)-буквенно-числовая матрица с комплексными коэффициентами, в которой буквами являются варьируемые параметры схемы. Вычисление функций чувствительности частотных характеристик осуществляется путем решения СЛАУ
Поскольку наиболее трудоемкие операции вычисления матриц проведены перед вычислением частотных характеристик, трудоемкость определения одной точки частотных характеристик по (1.3) становится пропорциональной только трудоемкости LQ-разложения комплексной (m×m)-числовой матрицы. Платой за резкое увеличение скорости вычислений является увеличение рабочего поля метода, поскольку необходимо хранить матрицы систем вида (1.3).
Рассмотренный численный метод был реализован в виде прикладных программ в рамках диалоговой системы моделирования, макромоделирования, анализа и оптимизации линейных эквивалентных электрических схем. Для тестового примера с характеристиками N=44, m=8, k=6, r=29, трудоемкость вычислений по макромодели по сравнению с (1.2) сократилась в 12 раз, а по сравнению с трудоемкостью вычисления частотных характеристик по модели – в 1200 раз. Значения вычисляемых по модели и макромодели характеристик совпадали в первых 16 цифрах после десятичной точки при использовании 20-разрядной десятичной мантиссы.
Дальнейшее снижение трудоемкости вычисления частотных характеристик может быть получено в результате преобразования СЛАУ (1,3), обеспечивающего снижение их размерности. Для этого модель, по которой строится макромодель, должна иметь вид, характеризующийся включением варьируемых параметров на диагонали матриц. Для объяснения сути преобразований, запишем какую-либо СЛАУ из (1.3) в блочном виде
|
Снижение трудоемкости вычислений за счет настройки макромодели на диапазон расчета выходных характеристик схемы